에우클레이데스의 원론

3. 구성 및 내용

《원론》은 총 13권으로 구성되어 있으며, 크게 기하학, 비례론, 수론, 무리수에 대한 내용을 다룬다. 각 권의 주요 내용은 다음과 같다.

• 제1권 ~ 제4권: 평면 기하학을 다룬다. 피타고라스 정리^[23], 기하학적 대수, 탈레스의 정리 등이 여기에 해당한다.
• 제5권: 에우독소스의 비율 이론을 다룬다.^[23]
• 제6권: 비율 이론을 닮음 도형에 적용한다.^[23]
• 제7권 ~ 제9권: 수론을 다룬다. 유클리드 호제법, 산술의 기본 정리, 소수의 무한성, 완전수 등이 여기에 해당한다.^[23]
• 제10권: 무리수를 다룬다.^[21]
• 제11권 ~ 제13권: 입체 기하학을 다룬다. 평행육면체, 정육면체, 각기둥, 원뿔, 피라미드, 원기둥, 구, 정다면체 등이 여기에 해당한다.^[23]

3. 1. 제1권 ~ 제4권: 평면 기하학

• 제1권: 필수적이고 예비적인 정의와 설명, 공준과 공리로 시작한다. 제1권의 정리 중에는 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있다. 마지막 두 정리인 정리 47과 48은 피타고라스 정리와 그 역이다. 18세기까지 기하학 교과서로 쓰인 이유도 여기에 있다.
• 제2권: 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책으로, 주로 피타고라스 학파의 기하 대수학을 다룬다. 이 책의 정리 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화이다.
• 제3권: 39개의 정리로 이루어졌으며, 원, 현, 할선, 접선, 연관된 각도의 측정 등에 관한 정리들을 포함하고 있다.
• 제4권: 16개의 정리로 이루어져 있으며, 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우의 작도, 정다각형의 작도를 포함하고 있다.

평면의 초등 기하에 대해 서술되어 있는 것은 제1권, 제2권, 제3권, 제4권과 제6권이다. 다만, 이 내용은 유클리드 본인의 업적이라기보다는, 그 이전에 피타고라스 학파 등의 공헌에 의해 유클리드 시대 이전부터 이미 체계화되어 있던 정보를 재편찬한 것일 가능성이 높다.

『원론』에서는 몇 가지 정의에서 시작하여, 5개의 공준(요청)과 5개(또는 9개)의 공리(공통 개념)가 제시되어 있다. 논의의 전제가 되는 점, 선, 직선, 면, 각, 원, 중심 등의 개념이 정의되고, 다음과 같은 5개의 공준을 참으로 받아들임으로써 작도의 문제의 기초를 명확히 하고 있다.

# 임의의 한 점에서 다른 한 점으로 직선을 긋는 것

# 유한한 직선을 연속적으로 똑바로 연장하는 것

# 임의의 중심과 반지름으로 원을 그리는 것

# 모든 직각은 서로 같다

# 직선이 2개의 직선과 교차할 때, 같은 쪽의 내각의 합이 2직각보다 작은 경우, 그 2개의 직선이 한없이 연장될 때, 내각의 합이 2직각보다 작은 쪽에서 교차한다.

이 중에서 5번째 공준에 대해서는 고대부터 다른 공리, 공준에 비해 두드러지게 복잡하다는 점에서 자명하다고 하기에는 의문이 제기되었고, 이 의문으로 인해 근대에 이르러 이 공준이 성립하지 않는 기하학인 비유클리드 기하학의 발단이 되었다.

더욱이 공준 뒤에 다음과 같은 공리가 제시된다. 이것은 모든 학문에 공통된 진리로서 받아들여지며, 연구에 있어서 항상 참조해야 할 것으로 여겨진다.

# 같은 것에 같은 것은 서로 같다.

# 같은 것에 같은 것을 더한 경우, 그 합은 같다.

# 같은 것에서 같은 것을 뺀 경우, 나머지는 같다.

# ［부등한 것에 같은 것을 더한 경우, 그 합은 부등하다.］

# ［같은 것의 2배는 서로 같다.］

# ［같은 것의 반은 서로 같다.］

# 서로 겹쳐지는 것은 서로 같다.

# 전체는 부분보다 크다.

# ［2선분은 면적을 둘러싸지 않는다.］

단, ［］로 둘러싸인 공리는 공리에 포함하지 않는 경우가 있다. 제5공리는 제2공리에서 유도된다. 또한 제9공리를 현대적으로 바꿔 말하면 "서로 다른 2점을 지나는 직선은 단 1개만 존재한다"가 된다. 제9공리는 기하학에 관한 것이므로, 원래는 공준에 포함될 수 있는 것으로 생각된다.

3. 2. 제5권: 비율 이론

3. 3. 제6권: 도형에의 응용

3. 4. 제7권 ~ 제9권: 수론

3. 5. 제10권: 무리수

3. 6. 제11권 ~ 제13권: 입체 기하학

4. 유클리드의 방법론과 표현 방식

유클리드의 공리적 접근 방식과 구성적 방법은 널리 영향을 미쳤다.^[1]

유클리드의 많은 명제는 컴퍼스와 자를 사용하여 객체를 구성하는 단계를 상세히 설명함으로써 어떤 도형의 존재를 증명하는 구성적 명제였다. 그의 구성적 접근 방식은 직선과 원의 존재를 명시하는 첫 번째와 세 번째 공준에서도 나타난다. 그는 이전 정의에 따라 선과 원이 존재한다고 진술하는 대신, 선과 원을 '작도'하는 것이 가능하다고 진술한다. 또한, 증명 중 하나에서 도형을 사용하려면, 이전 명제에서 그것을 구성해야 했다. 예를 들어, 피타고라스 정리를 증명하기 위해 직각 삼각형의 변에 먼저 정사각형을 내접했지만, 한 명제 이전에 주어진 선에 정사각형을 구성한 후에야 가능했다.^[2]

결과로 이어진 추론 방식에 대한 표시는 제공되지 않지만, ''자료''는 ''원론''의 처음 네 권에서 만나는 유형의 문제에 접근하는 방법에 대한 지침을 제공한다. 일부 학자들은 유클리드가 증명에서 도형을 사용하는 것에 대해 결점을 찾으려고 시도했으며, 특히 제1권의 명제 II와 관련하여 일반적인 기본 논리보다는 그려진 특정 도형에 의존하는 증명을 썼다고 비난했다. 그러나 이 명제에 대한 유클리드의 원래 증명은 일반적이고 유효하며, 주어진 구성의 예를 설명하는 데 사용된 도형에 의존하지 않는다.

5. 비판

에우클레이데스의 《원론》에는 몇 가지 오류가 있다. 몇몇 기본적인 정리는 에우클레이데스가 명시적으로 언급하지 않은 공리를 사용하여 증명되었다. 몇몇 증명은 직관적이지만 명시적으로 증명되지 않은 가정을 사용하여 오류를 범하고 있다. 수학자이자 역사가인 W. W. 로스 볼은 이러한 비판에 대해 "2천년 동안 《원론》이 해당 분야의 일반적인 교과서였다는 사실은 그 목적에 부적합하지 않다는 강력한 추정을 제기한다."라고 언급했다.^[16]

후대의 편집자들은 에우클레이데스의 암묵적인 공리적 가정을 공식적인 공리 목록에 추가했다.^[16] 예를 들어, 제1권의 첫 번째 작도에서 에우클레이데스는 반지름 거리에 중심이 있는 두 원이 두 점에서 교차한다는 전제를 사용했는데, 이는 가정되거나 증명되지 않은 것이다.^[16]

에우클레이데스의 오류는 최소한 1882년까지 거슬러 올라가는데, 이때 파슈가 누락된 공리를 발표했다. 모든 오류를 찾으려는 초기 시도에는 힐베르트의 기하학 공리와 타르스키의 공리가 포함된다. 2018년, 마이클 비슨 등은 컴퓨터 증명 보조자를 사용하여 에우클레이데스의 공리와 유사한 새로운 공리 집합을 만들고 해당 공리에 유효한 증명을 생성했다.^[16]

비슨 등은 제1권만 검토했으며, 누락된 공리, 불필요한 공리, 논리적 틈새(예: 점이 공선임을 증명하지 못하는 경우), 누락된 정리(예: 각도는 자기 자신보다 작을 수 없음) 및 명백한 잘못된 증명과 같은 오류를 발견했다. 잘못된 증명은 제1권, 증명 7 및 제1권, 명제 9에 있었다.

6. 영향

''원론''은 논리를 수학에 적용한 걸작으로 여겨지며, 역사적으로 여러 과학 분야에 큰 영향을 미쳤다. 니콜라우스 코페르니쿠스, 요하네스 케플러, 갈릴레오 갈릴레이, 아이작 뉴턴, 알베르트 아인슈타인과 같은 과학자들은 ''원론''의 영향을 받아 자신의 연구에 적용했다.^[10][11] 토머스 홉스, 바뤼흐 스피노자, 앨프리드 노스 화이트헤드, 버트런드 러셀과 같은 수학자 및 철학자들은 유클리드의 공리화된 연역적 구조를 채택하여 각자의 분야에 맞는 독자적인 "원론"을 만들려고 시도했다.

유클리드 기하학의 엄격한 아름다움은 서구 문화에서 완벽함과 확실성의 초월적인 세계를 엿볼 수 있는 것으로 여겨졌다. 에이브러햄 링컨은 유클리드의 책을 안장에 넣어 가지고 다니며 밤늦도록 등불 아래에서 공부했다고 알려져 있다.^[12] 에드나 세인트 빈센트 밀레이는 소네트 "유클리드만이 벌거벗은 아름다움을 보았다"에서 유클리드를 찬양했다. 알베르트 아인슈타인은 어릴 적 자신에게 큰 영향을 미친 두 가지 선물로 ''원론''과 자석 나침반을 기억하며, 유클리드를 "거룩한 작은 기하학 책"이라고 언급했다.^[13][14]

''원론''은 대부분의 수학적 지식을 논리적으로 제시했기 때문에 성공할 수 있었다. 유클리드는 소수의 공리에서 심오한 결과에 이르기까지 그의 주제를 체계적으로 전개했고, ''원론'' 전체에 걸쳐 그의 접근 방식이 일관성을 유지했기 때문에 약 2,000년 동안 교과서로 사용될 수 있었다. ''원론''은 오늘날에도 현대 기하학 책에 영향을 미치고 있으며, 그의 논리적이고 공리적인 접근 방식과 엄격한 증명은 수학의 초석으로 남아 있다.

유클리드가 현대 수학에 미친 가장 주목할 만한 영향 중 하나는 평행선 공준에 대한 논의이다. 유클리드는 《원론》 제1권에서 다섯 개의 공준을 제시하는데, 그중 다섯 번째 공준은 다음과 같다.

> 어떤 선분이 두 개의 직선 선과 만나서 같은 쪽에 있는 두 개의 내각의 합이 두 개의 직각보다 작을 경우, 두 직선은 무한히 연장될 때 그 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 만난다.

7. 판본 및 번역

알렉산드리아의 테온은 4세기경 유클리드의 판본을 만들었는데, 이는 매우 널리 사용되어 프랑수아 페이라드가 1808년 바티칸 도서관에서 테온의 판본에서 파생되지 않은 필사본을 발견하기 전까지 유일하게 남아 있는 자료였다.^[3] 이 필사본은 요한 루드비히 하이베르크 필사본으로, 900년경 비잔틴 공방에서 제작되었으며 현대 판본의 기초가 되었다.^[3]

• 4세기, 알렉산드리아의 테온, 서기 888년 필사본 현존.
• 9세기, 테온 이전 페이라르 바티칸 그리스어 190
• 1482년 이전, 많은 중세 판본
• 1460년대, 레기오몬타누스(미완성)
• 1482년, 에르하르트 라트돌트(베네치아), ''초판본''(라틴어)^[17][18]
• 1533년, 시몬 그리나에우스의 그리스어 텍스트 ''초판본''^[19]
• 1557년, 장 마니앵과 피에르 드 몽도레 출판, 스테파누스 그라실리스 검토 (명제만 있고, 전체 증명은 없음, 원본 그리스어와 라틴어 번역 포함)
• 1572년, 코만디누스 라틴어 판
• 1574년, 크리스토프 클라비우스
• 1883–1888년, 요한 루트비히 하이베르크

참조

_[1] 논문 Digging for Structure into the Elements: Euclid, Hilbert, and Mueller https://core.ac.uk/d[...] Historia Mathematica 1985
_[2] 논문 Plato as "Architect of Science" https://philarchive.[...] Phonesis 1998
_[3] 웹사이트 The Earliest Surviving Manuscript Closest to Euclid's Original Text (Circa 850) http://historyofinfo[...]
_[4] 학술지 Euclides Graeco-Latinus: A Hitherto Unknown Medieval Latin Translation of the Elements Made Directly from the Greek 1967
_[5] 학술지 John of Tynemouth alias John of London: Emerging Portrait of a Singular Medieval Mathematician https://www.jstor.or[...] 1990
_[6] 서적 Euclid in Medieval Europe https://math.berkele[...] Benjamin catalogue 1989
_[7] 웹사이트 DigiVatLib https://digi.vatlib.[...] 2023-11-20
_[8] 웹사이트 Mathematical Treasures - Greek Edition of Euclid's Elements {{!}} Mathematical Association of America https://maa.org/pres[...]
_[9] 서적 The thirteen books of Euclid's Elements. Vol. 1: Introduction and books I, II Dover Publications 1956
_[10] 뉴스 One of the world's most influential math texts is getting a beautiful, minimalist edition https://www.theverge[...] 2017-09-02
_[11] 뉴스 How Euclid once ruled the world https://plus.maths.o[...]
_[12] 웹사이트 Euclid as Founding Father https://nautil.us/is[...]
_[13] 웹사이트 Einstein as a Student http://www.chem.harv[...] Department of Chemistry and Chemical Biology, Harvard University, Cambridge, MA
_[14] 웹사이트 Albert Einstein – Young Einstein http://www.albertein[...] 2018-04-29
_[15] 간행물 Euclid's Elements Clark University 1997-06
_[16] 학술지 Proof-checking Euclid https://www.michaelb[...] 2024-09-25
_[17] 문서 Alexanderson Greenwalt 2012
_[18] 웹사이트 Editio Princeps of Euclid's Elements, the Most Famous Textbook Ever Published : History of Information https://www.historyo[...] 2023-07-28
_[19] 웹사이트 The First Printed Edition of the Greek Text of Euclid is also the First Edition to Include the Diagrams within the Text : History of Information https://historyofinf[...] 2023-07-28
_[20] 웹사이트 JNUL Digitized Book Repository http://aleph500.huji[...] 2018-04-29
_[21] 문서 p. 489.より引用。
_[22] 문서 Heiberg&Menge(1883-1916)
_[23] 문서 오늘날의 수학자들은 ‘공리’와 ‘공준’이라는 단어를 형식논리학의 토대에서 사실상 동의어로 사용하지만, 고대 그리스의 에우클레이데스는 그 두 단어를 채택하는 데 공리는 모든 학문 분야에 공통인 초기 가정인 반면에 공준은 특수한 분야에 한정되는 것이라는 점에서 차이를 두었다고 여겨진다.